Q-Eng

どちらも「信じる」という意味ですが違いはあるんでしょうか。
英英辞書の定義を確認してみましょう。

believe [verb]
to be sure that something is true or that someone is telling the truth
⇒何かが真実であるあるいは誰かが言っていることが真実であると確信すること

trust [verb]
to believe that someone is honest or will not do anything bad or wrong
⇒誰かが公正であり、悪いことや間違ったことをしないと believe すること

なるほど。
良い悪いはともかく、それが真実だと信じるのが believe。
で、悪いことや間違ったことをしないと信じる、つまり「信用する」ってのが trust なんですね。

マイケルジャクソンの昔の歌でこんな歌詞があります。

Because I’m bad, I’m bad, I’m really really bad,
You know I’m bad, I’m bad-you know it
You know I’m bad, I’m bad-you know it, you know
And the whole world has to answer right now
Just to tell you once again,
Who’s bad？

簡単に言うと「オレは超ワルだぜ。わかってんだろ？」って歌っているんですけど、コレに対しての返事として、

“I believe you.”
⇒私はあなた（が言っていることが正しいということ）を信じている
つまり、「おっしゃるとおり、あなたは悪い人です」。

“I trust you.”
⇒私はあなた（が悪いことをしない人だということ）を信じている
つまり、「なにをおっしゃる、君がそんなやつじゃないって知ってるよ」。

全然意味が違っちゃいますね。

ちなみに、存在を信じる（UFO、幽霊、サンタクロースなど）という場合は、”believe in” を使うといいみたいですよ。

I believe in UFOs.
⇒私は <span class="caps">UFO</span> (の存在)を信じている。

以上ですよ。

＃斜字はLDOCE (LONGMAN Dictionary of Contemporary English) Onlineより抜粋
http://pewebdic2.cw.idm.fr/

他にもいろいろ調べてます↓
[シリーズ]英英辞書で調べてみました