Q-Eng

どちらも「起きる」という意味ですが違いを確認してみたいと思います。

happen [verb]
1. when something happens, there is an event, especially one that is not planned (= occur)
⇒何かが happen した (と言う) 時、予定されていなかったイベントがある(ということ)

occur [verb] (formal)
1. to happen
⇒ happen すること

ということで両者に違いはありませんでした。
occur のほうが formal ってくらいですね (←hiromiduki さん指摘サンクス)。
以上です。

いやいやそれではあまりにも...ということでもうちょっと違いを探して見ます。

happen to somebody/something
if something happens to someone or something, they are affected by an event
⇒もし何かが誰かあるいは何かに happen したという場合、それら(誰かあるいは何か)はイベントの影響を受けている

occur to somebady (phrasal verb)
if an idea or thought occurs to you, it suddenly comes into your mind
⇒もしアイデアや考えがあなたに occur したという場合、それは突然思いついたものである

おお、後ろに to somebody が続くときは意味が違うんですね。
Something happens to me. なら、それが私の身に起きた
It occurs to me (that/to do) なら、私は (that 以下、または do すること) を思いついた。

これは明らかな違いでした。
他はどうでしょうか。

happen to do something
if you happen to do something, you do it by chance
⇒もしあなたが何かを行うことを happen したという場合、あなたはそれを偶然行ったということである

happen を使うと"たまたま○○していた"、という表現もできるんですね
同じような表現 (主語が人になる) は occur には無いようです。

ところで、
happen も occur も「起きる」であって「起こす」ではありません。

×He happened/occurred the trouble.
×The trouble was happened/occurred by him.
(いずれも、彼がトラブルを起こしたという意味にはならない。間違い)

この場合は、cause を使いましょう。

cause [verb]
to make something happen, especially something bad
⇒何かを、特によくない事を起こすこと

○He caused the trouble. 彼はトラブルを起こした。
○The trouble was caused by him. そのトラブルは彼が起こした。

以上でーす。

(*)斜字は LDOCE からの抜粋