Q-Eng

would だけが助動詞です。
　rather は副詞。
　prefer は動詞です。


（１）I would rather take an art class than study a foreign language.

これは would が助動詞で rather が副詞です。

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副詞はよく、[助動詞]と[動詞の原形]の間に入ります。

・例文
She will never come back. （彼女は２度と戻らないだろう）

　will が[助動詞]。never は副詞。come は[動詞の原形]です。

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I would rather take an art class than study a foreign language.

　would が[助動詞]。rather が副詞。take は[動詞の原形]です。

　（study が原形なのは 手前に would の省略があるからです）
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（２）I'd prefer studying video to learning about photography.


'd は would のことですから、

I would prefer studying video to learning about photography.

となりますが、これは

　would が[助動詞]で、prefer が[動詞の原形]です。

　↓こういった単純な形と同じ構造です。
　I can do it.
　　can が[助動詞] で、do が[動詞の原形]です。

studying や to後の learning が「～ing形」なのは prefer の語法です。

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　・prefer A to B　(BよりAを好む）＜AやBには通常【名詞】が入る＞

という熟語の所為です。

例文
・I prefer apples to oranges. （私はオレンジよりりんごを好む）
　　　　　　　A　　　　　　B

AやBには通常「名詞」。だから、AやBに「～する（こと）」という意味を持ってきたいときは「動名詞（すなわち、～ing形）」にします。
例文
・I prefer watching games to playing them.（私は試合をするよりも見るほうが好きだ）
　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　B
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したがって、ご質問の文は

　I would prefer studying video to learning about photography.
　 助動詞　動詞　　A(動名詞）　　　　B（動名詞）

となっています。

mouthbird先生、丁寧な文法解説ありがとうございました。

ratherが副詞だと知ってびっくりしましたが、この表現を見るたびに感じていた違和感がなくなり、とてもすっきりしました。

英会話のクラスでは、表現を丸覚えして何度も使うことで体になじませていくのですが、
その表現を文法的に理解することで、覚えやすく、忘れにくくなると思います。
ありがとうございました。

世の英会話学習者に、文法の大切さをもっと知ってもらいたいです！