Q-Eng

Open the door with the key.
解答はパワー基本語前置詞・句動詞編参照

以下は僕の考えです。
the key to the door
to:「対応」
the key to the door=ドアに対応した鍵
ドアと一体一に対応しているドアを開けるためのカギとなります。
Open the door with the key.
with：手で持つ
手で持てる道具(鍵)を使って→with the keyということなので
with the keyのほうです。

>>1 aki-euさん
私が得たい解説でした。ありがとうございます。

>>1 aki-euさん

key は、to をとる名詞です。
the key to success など。
　
with：手で持つ　はうっかりこう書かれたようですが、
with : 使って、使用して　（実際そう書いていらっしゃるので、誤解されないために、）

説明は全部納得できます。（反対のためのコメントではなく、賛成のためのコメントです。）